O sarosie i zaćmieniach

Tomasz Kwast

Poniższy artykuł został opublikowany w miesięczniku "Urania" z listopada 1973 r. Przygotowanie i publikacja wersji elektronicznej za zgodą redakcji czasopisma "Urania-Postępy Astronomii".

Jedną z najstarszych, a chyba nawet najstarszą dziedziną astronomii jest rachuba czasu. Do jej prowadzenia wykorzystują astronomowie pewne okresowe zjawiska niebieskie, z których najważniejszymi są wschód i zachód Słońca, przemiany faz Księżyca i zmiana pór roku. Zjawiska te są podstawą odpowiednich jednostek czasu: doby, miesiąca i roku. Miesiąc jest spośród nich pojęciem może najbardziej "tajemniczym", a określający go ruch Księżyca wykazuje szereg ciekawych prawidłowości mających nieraz ogromne znaczenie dla chronologii.

Przypomnijmy sobie zatem, co to jest miesiąc w sensie astronomicznym. Jednym z najpowszedniejszych zjawisk niebieskich jest przechodzenie Księżyca przez cykl faz, co, jak wiemy, odbywa się w czasie mniej więcej miesiąca kalendarzowego. Nasuwa się, aby za jednostkę czasu przyjąć odstęp czasu np. pomiędzy dwoma kolejnymi nowiami. Taka jednostka czasu w astronomii znana jest pod nazwą miesiąca synodycznego. Równy jest on 29^d12^h44^m2,8^s lub inaczej 29,530587 dni średnich słonecznych. Słusznie można się spodziewać, że wielkość ta z taką dokładnością została wyznaczona nie na podstawie bezpośrednich obserwacji, gdyż niepodobieństwem jest patrząc na Księżyc orzec, w którym dokładnie momencie jest akurat np. pełnia. Miesiąc synodyczny S jest natomiast związany z tzw. miesiącem gwiazdowym G zależnością

1/S = 1/G-1/R

gdzie R jest długością roku gwiazdowego. Otóż na podstawie wnikliwszych obserwacji, można stwierdzić inną regularność w ruchu Księżyca, mniej rzucającą się w oczy, za to dającą się dokładniej zmierzyć. Mianowicie widząc Księżyc przez dwa kolejne wieczory można zauważyć, że w ciągu doby Księżyc zmienił swoje położenie wśród gwiazd i przesunął się o kilkanaście stopni ku wschodowi, dokładniej o 13,2°. Do wykonania pełnego obiegu po niebie potrzeba mu zatem też w przybliżeniu miesiąca. Właśnie okres czasu, po którym Księżyc wraca do tego samego położenia wśród gwiazd nazywa się miesiącem gwiazdowym (syderycznym) i trwa on 27^d7^h43^m11,5^s czyli 27.321660 dni. Łatwo sprawdzić, że skoro rok gwiazdowy liczy 365,256363 dni, to podane długości miesiąca synodycznego i gwiazdowego spełniają wspomnianą zależność.

Widzimy, że miesiąc gwiazdowy jest miarą czasu potrzebnego na wykonanie przez Księżyc pełnego obiegu wokół Ziemi, czyli właśnie względem "nieruchomych" gwiazd. Natomiast miesiąc synodyczny to taki okres czasu, po jakim powtarza się wzajemne ustawienie Ziemi, Słońca i Księżyca. Różnica wynika stąd, że gdy Księżyc wróci do poprzedniego położenia wśród gwiazd, czyli gdy upłynie miesiąc gwiazdowy, to Słońce w tym czasie przesunie się w przybliżeniu o 1/13 kąta pełnego w kierunku ruchu Księżyca. Musi zatem upłynąć jeszcze trochę czasu, aby Księżyc przebył tę 1/13 kąta pełnego i zajął wreszcie takie położenie względem Słońca, jak przed miesiącem. Na przebycie 1/13 kąta pełnego z prędkością 13,2° na dobę potrzeba Księżycowi około 2,1 dnia i o tę właśnie wielkość miesiąc synodyczny jest dłuższy od gwiazdowego.

Zajmijmy się teraz przez chwilę dynamiką ruchu Księżyca. W swoim ruchu okołoziemskim Księżyc z pewnością podlega zakłócającemu wpływowi Słońca. W tym przypadku prawa mechaniki mówią, że Księżyc w swym ruchu względem Ziemi doznaje takiego zakłócenia, że pełna siła zakłócająca jest sumą wektorową siły działającej na Księżyc ze strony Słońca oraz minus siły działającej na Ziemię ze strony Słońca. Wielkości i kierunki tych sił są akurat takie, że pełna siła perturbacyjna działająca na Księżyc jest zawsze skierowana ku linii łączącej Ziemię ze Słońcem. (…) Ponieważ orbita Księżyca nie leży w płaszczyźnie orbity ziemskiej (kąt między tymi płaszczyznami wynosi 5°9'), to istnieje składowa siły perturbacyjnej ściągająca Księżyc zawsze ku płaszczyźnie orbity ziemskiej, czyli ku płaszczyźnie ekliptyki. Rozpatrzmy, jak będzie się zmieniała orbita Księżyca w wyniku takiej perturbacji (rys. 1). Załóżmy, że Księżyc K minął węzeł wstępujący swojej orbity. Bez działania Słońca prędkość Księżyca byłaby opisana wektorem V. Skoro Księżyc jest ściągany ku płaszczyźnie ekliptyki to jego prędkość w pewnej chwili będzie opisana wektorem V tworzącym mniejszy kąt z ekliptyką niż V. Ale orbita zawsze musi być styczna do wektora prędkości, a więc musi ona zająć nowe położenie KΩ Widzimy, że węzeł wstępujący z punktu Ω przesunął się do Ω', czyli cofnął się, gdyż przesunął się w kierunku mniejszej długości ekliptycznej. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla innych punktów orbity Księżyca można się przekonać, że występowanie siły perturbującej skierowanej ku płaszczyźnie ekliptyki będzie powodowało w każdym przypadku tylko cofanie się węzłów orbity Księżyca. Obserwacje wykazują, że węzły obiegają ekliptykę w czasie 18,60 lat.

Rys. 1

Wyobraźmy sobie (rys. 2), że w pewnej chwili Księżyc znajduje się w węźle wstępującym swojej orbity Ω. Gdyby orbita Księżyca nie zmieniała orientacji w przestrzeni, to po wykonaniu pełnego obiegu wokół Ziemi Księżyc wróciłby znowu do punktu Ω po upływie miesiąca gwiazdowego. Jednak po takim czasie orbita Księżyca zajmie położenie KΩ' a sam Księżyc znajdzie się w punkcie K. Nieco wcześniej przeszedł on przez nowy węzeł Ω' i dlatego odstęp czasu pomiędzy kolejnymi przejściami Księżyca przez ten sam węzeł jest krótszy od miesiąca gwiazdowego. Nosi on nazwę miesiąca smoczego. Można łatwo oszacować jego długość. Skoro węzeł dokonuje obiegu ekliptyki w 18,60 lat, to w ciągu miesiąca przesunie się o 360°/(18,60x13)=1,5° i tyle wynosi łuk ΩΩ' Ponieważ nachylenie orbity Księżyca do ekliptyki wynosi zaledwie około 5° to również łuk KΩ' ma około 1,5° Na przebycie tego łuku Księżyc potrzebuje w przybliżeniu 2,7^h = 0,11^d, czyli o tyle miesiąc smoczy jest krótszy od gwiazdowego. Dokładniejsze obserwacje mówią, że jest on równy 27^d5^h5^m35,8^s lub inaczej 27,212219 dni średnich słonecznych.

Rys. 2

Tak poznaliśmy definicje trzech dosyć zbliżonych do siebie jednostek czasu oraz zależności między nimi. Nie byłoby w tym wiele interesującego, gdyby traktować wprowadzanie definicji jako sztukę dla sztuki. Teraz jednak, znając odpowiednie pojęcia, możemy w ich języku jasno sformułować pewne prawa rządzące ruchem Księżyca, prawa, których istnienia właściwie się podejrzewa, a do zaobserwowania ich skutków potrzeba by bardzo długiego czasu. Otóż wiemy, że zaćmienia czy to Słońca czy Księżyca zachodzą wtedy, gdy Ziemia, Słońce i Księżyc ustawią się w przybliżeniu na jednej linii prostej. Dokładniej, środek zaćmienia wypada wtedy, gdy

Księżyc jest w złączeniu (koniunkcji) lub przeciwstawieniu (opozycji) ze Słońcem, czyli podczas nowiu lub pełni oraz
dany punkt złączenia lub przeciwstawienia Księżyca jest na tyle blisko któregoś węzła orbity, że cień Księżyca padnie na Ziemię lub cień Ziemi na Księżyc.

Znając rozmiary Ziemi, Słońca i Księżyca, ich wzajemne odległości i nachylenie orbity Księżyca do ekliptyki można obliczyć, że zaćmienie Słońca wystąpi, gdy punkt złączenia będzie w odległości nie przekraczającej 17,6°, zaś zaćmienie Księżyca, gdy punkt przeciwstawienia będzie w odległości nie większej niż 11,9° od węzła.

Teraz możemy już sformułować podstawowe prawo rządzące następstwem zaćmień. Mianowicie, jeżeli w pewnej chwili nastąpiło jakieś zaćmienie, to takie samo zaćmienie powtórzy się po takim czasie, kiedy upłynie całkowita liczba miesięcy zarówno smoczych jak i synodycznych. Będzie to następne zaćmienie w tzw. serii zaćmień. Długości tych miesięcy są oczywiście niewspółmierne, lecz ich stosunek 29,530587/27,212219 można w przybliżeniu wyrazić jako np. 242/223. Zaćmienie zatem powtórzy się po upływie 242 miesięcy smoczych lub inaczej 223 synodycznych. Fakt ten znany był już astronomom babilońskim, a ów charakterystyczny okres czasu przez bizantyńczyka Suidasa został nazwany sarosem. Okres ten wynosi nieco ponad 18 lat, dokładniej 223 miesiące synodyczne trwają 6585,321 dni zaś 242 miesiące smocze liczą 6585.357 dni. W przybliżeniu zatem saros ma 6585 1/3 dnia, skąd widzimy, że po upływie sarosu następne w serii zaćmienie nastąpi w długości geograficznej o 120° bardziej na zachód, gdyż przez ową 1^h dnia o tyle właśnie obróci się Ziemia. Wobec tego w jednym miejscu Ziemi zaćmienie powtórzy się po upływie dopiero trzech sarosów.

Jak powiedzieliśmy, saros jest okresem, w którym jedynie z pewnym przybliżeniem mieści się całkowita liczba miesięcy smoczych i synodycznych. W rzeczywistości 242 miesiące smocze minus 223 miesiące synodyczne daje 0,036 dnia. W takim czasie Księżyc przesuwa się o kąt (360°/27,212219)x0,036=0,48°, czyli jeżeli w pewnej chwili punkt koniunkcji (lub opozycji) Księżyca pokrywał się dokładnie z węzłem orbity, to po upływie sarosu te dwa punkty będą już rozsunięte na odległość 0,48°. Przez wiele sarosów nie będzie to miało znaczenia, ponieważ, jak wspominaliśmy, do zajścia zaćmienia nie jest potrzebne dokładnie prostoliniowe ustawienie Ziemi, Słońca i Księżyca. I tak kąt 0,48° mieści się w kącie 2x17,6° kilkadziesiąt razy, dlatego dana seria zaćmień Słońca trwa (2x17,6°/0,48°)x18,03=1320 lat (18,03 jest to długość sarosu wyrażona w latach). Wreszcie jednak dany punkt złączenia (lub przeciwstawienia) opuści sąsiedztwo węzła i seria zaćmień się skończy. Wynika z tego, że przepowiednie zaćmień na podstawie sarosu z czasem stają się zawodne. Oczywiście w sąsiedztwie węzła znajduje się jednocześnie kilka punktów złączeń (lub przeciwstawień), czyli podczas trwania pewnej serii zaćmień trwają też i inne serie. Kiedy jedna się skończy to inne trwają nadal lub rozpocznie się jeszcze nowa, ponieważ inny punkt koniunkcji (lub opozycji) dostanie się w sąsiedztwo tego węzła. Łatwo właśnie pokazać, że serie zaćmień na siebie zachodzą. Mianowicie podczas sarosu Księżyc 223 razy jest w pełni i tyle samo razy w nowiu, zatem na orbicie Księżyca w ciągu sarosu można nanieść 223 punkty złączeń i tyleż punktów przeciwstawień. Średnia odległość punktów jednego typu wynosi 360°/223=1,61°, a to w łuku 2x17,6° czy 2x11,9° mieści się wiele razy. W dodatku trzeba wziąć pod uwagę, że istnieją dwa węzły orbity Księżyca i oba mają swoje "sąsiedztwo". Dlatego w ciągu sarosu zachodzi średnio 4x17,6/1,61=44 zaćmień Słońca oraz 4x11,9/1,61=29 zaćmień Księżyca, z których każde należy do innej serii. Jednocześnie zatem trwają 44 serie zaćmień Słońca i 29 serii zaćmień Księżyca. Zauważmy, że w ogólności zaćmienia Księżyca są rzadsze, ale jeżeli zaćmienie Księżyca już nastąpi, to widoczne jest z całej półkuli Ziemi. Dlatego są one częstsze w danym miejscu Ziemi.

Skoro 223 miesiące synodyczne trwają krócej niż 242 miesiące smocze oznacza to, że po upływie sarosu punkt złączenia (lub przeciwstawienia) przesunął się względem węzła w stronę przeciwną niż ruch Księżyca. Wynika stąd, że w pobliżu węzła wstępującego punkty złączenia Księżyca ze Słońcem będą miały w serii zaćmień wpierw szerokość ekliptyczną dodatnią, a dopiero w drugiej połowie serii ujemną. Wskutek tego ta właśnie seria rozpocznie się zaćmieniami na północnej półkuli Ziemi, potem zaćmienia przeniosą się w strefę równikową i seria skończy się zaćmieniami na półkuli południowej. W sąsiedztwie węzła zstępującego proces ten będzie przebiegał oczywiście odwrotnie.

Pozostałoby na koniec wyjaśnić, dlaczego w ogóle rozważaliśmy współmierność miesięcy smoczego i synodycznego jako wyrażającą się w przybliżeniu ułamkiem 242/223, a nie dokładniej np. 777/716 czy jeszcze jakoś inaczej. Otóż okres 6585 1/3 dnia ma jeszcze inne ciekawe własności, mianowicie jest on z grubsza wielokrotnością także miesiąca gwiazdowego (i liczy ich 241) jak również, co już wiemy, roku (i liczy ich 18). Ponadto, co chyba jest nawet ważniejsze, wprowadzona przez Suidasa na oznaczenie charakterystycznego dla zaćmień okresu nazwa saros po prostu powszechnie się przyjęła. Tak więc głównie ze względu na tradycję pozostało we współczesnej astronomii pojęcie sarosu, jako że straciło ono swoje naukowe znaczenie jakie miało w astronomii starożytnej i średniowiecznej.

Uzupełnienie Tomasza Lewickiego

Animację zaćmień w kolejnych seriach sarosów można obejrzeć tutaj, zaś o cyklach zaćmień, sarosach i współmiernościach różnych okresów związanych z zaćmieniami sporo informacji jest w tym miejscu.